Cap. 11 Teste T

Objetivos do capítulo
1. Apresentar o Teste T
2. Discutir os pressupostos de execução do Teste T
3. Realizar gráficos relacionados à comparação de médias
4. Apresentar e interpretar métricas de tamanho do efeito
5. Dar exemplos relacionados à escrita dos resultados
6. Apresentar testes robustos e não paramétricos

O Teste T é um teste estatístico frequentemente utilizado para testar hipóteses sobre diferenças entre até duas médias. É possível usar o Teste T para (1) comparar a média de uma amostra com a média populacional (one sample t test), (2) para comparar duas médias amostrais (two sample t test) ou (3) para comparar duas médias de uma mesma amostra que foi investigada em dois momentos do tempo (paired ou matched t test). Por utilizar dados amostrais da média para estimar a média populacional (parâmetro \(\mu\)), ele é considerado um teste paramétrico.

Como todo teste inferencial, o Teste T é um modelo estatístico, com os seguintes pressupostos:

(i) Os dados são aleatórios e representativos da população
(ii) A variável dependente é contínua
(iii) Os resíduos do modelo são normalmente distribuídos

Quando há o interesse de utilizar o Teste T para comparar os resultados de dois grupos, é também necessário que:

(iv) Ambos os grupos sejam independentes (ou seja, grupos exaustivos e excludentes)
(v) A variância residual seja homogênea (princípio da homocedasticidade)

Quando se utiliza o Teste T pareado, o princípio da independência não é mais solicitado, mas é necessário que:

(vi) O tamanho amostral seja o mesmo nos grupos

Uma vez que o Teste T é adequado para diferentes objetivos de pesquisa, a tabela a seguir reúne alguns exemplos.

Teste T para	Exemplo
Uma amostra	-Verificar se o peso médio dos bebês de uma maternidade é similar ao esperado na população -Testar se a frequência respiratória de atletas de corrida difere da de outros atletas
Dois grupos independentes	-Verificar se o nível de anticorpos é diferente entre pessoas vacinadas e não vacinadas -Verificar se os resultados da prova do ENEM são diferentes em estudantes da rede pública ou privada de ensino
Pareado	-Verificar se um programa de reforço escolar melhorou as notas de conjunto de alunos -Testar se uma mudança arquitetônica em uma loja impactou em suas vendas

Eventualmente, quando os pressupostos do modelo são violados, a literatura mais tradicional recomenda que ajustes ou testes não-paramétricos com propostas parecidas possam ser implementados. A tabela abaixo concatena os testes estatísticos relacionados para fins de comparação com outros trabalhos. Há também autores que sugerem que se use sempre as versões não-paramétricas em resultados obtidos por processos de avaliação psicológica, argumentando que os dados têm nível de medida “ordinal.”

Versão do teste	Um grupo	Dois grupos independentes	Grupos pareados
Paramétrica	One-sample t test	Two-samples t test	Paired t test
Não-paramétrica	Signed rank test	Wilcoxon-Mann-whitney	Wilcoxon Signed-Rank

Nota: Existe um intenso debate sobre a utilização de testes paramétricos e não-paramétricos em Psicologia. Algo pouco comentado, apesar de ser o aspecto mais importante em minha opinião, é que a hipótese testada em um teste paramétrico é diferente da teste da testada em um não-paramétrico. Ou seja, a substituição de um teste estatístico por outro, necessariamente, muda a hipótese de pesquisa investigada. O Teste T não assume normalidade da variável dependente, mas sim normalidade dos resíduos do modelo probabilístico, que será explicado em seguida

Apenas por um preâmbulo histórico, a origem do Teste T remonta o artigo publicado em 1908 por William Gosset. Na época, em função de seu trabalho na cervejaria Guiness, ele não assinou o artigo. Na publicação, ele utilizou o pseudônimo Student, motivo pelo qual o Teste T também é chamado de Teste T de Student. Há muitas versões sobre o que levou Gosset a se apresentar como Student, mas parece que isso se deu em função de um caderno em que ele tomava notas, cuja capa tinha escrito The Student’s Notebook.

É importante notar que estudantes de Psicologia e profissionais que trabalham com avaliação psicológica costumam ser deparados com uma métrica chamada “T score” (Escore T, as vezes), desenvolvido em 1939 por um professor de Psicologia (William Anderson McCall). Tenha em mente que essa métrica não tem relação com os procedimentos inferenciais relacionados ao Teste T a não ser uma similaridade de nome (Krus & Krus, 1977).

Fim da versão gratuita

11.1 Pesquisa

A base desta pesquisa está disponível em formato R (Rdata) e em CSV, que é lido pelo JASP. Clique na opção desejada.

Base R: Livro - R - ASQ SE 12 e 18

Base JASP: Base CSV - ds_18

Neste capítulo, vamos utilizar a pesquisa intitulada “Confirmatory analysis and normative tables for the Brazilian Ages and Stages Questionnaires: Social–Emotional”, publicada em 2019 na Child Care Health Development. Esse trabalho teve dois objetivos. O primeiro visou confirmar a estrutura fatorial de um instrumento utilizado para avaliar possíveis atrasos no desenvolvimento de competências sociais e emocionais (ASQ:SE) e o segundo visou desenvolver tabelas normativas para comparar meninos e meninas. Essa é uma pesquisa muito importante, visto que conta com uma base de dados robusta (mais de 50 mil participantes) e faz interface entre psicometria, avaliação psicológica e políticas públicas.

Abaixo, há a escrita de hipóteses utilizada para comparar os resultados de meninos e meninas, bem como o nível de significância adotado na análise.

\[H_0: \mu_{meninos} - \mu_{meninas} = 0\]
\[H_a: \mu_{meninos} - \mu_{meninas} \neq 0\]
\[\alpha = 0.05\]

11.2 Execução no R

No ambiente R, a primeira etapa importante é assegurar que a base de dados tenha o resultado relacionado às competências sociais e emocionais das crianças. Esse valor será computado pela soma de todos os itens da escala. No dplyr, isso é feito pela integração da função mutate com a select e será executado às crianças com 12 (asq_12months) e 18 meses (asq_18months).

asq_12months <- asq_12months %>% 
  mutate(total_12 = rowSums(select(., starts_with("q_")), 
                            na.rm = TRUE))

asq_18months <- asq_18months %>% 
  mutate(total_18 = rowSums(select(., starts_with("q_")), 
                            na.rm = TRUE))

Em seguida, iremos começar pelos 12 meses. O processo de testagem da hipótese é feito preliminarmente de maneira tabular e gráfica e, em seguida, pela implementação do teste específico e verificação de seus pressupostos. A tabela a seguir apresenta as principais características estatísticas dos resultados:

asq_12months %>%
  group_by(sex) %>% 
  summarise_at(vars(total_12), lst(n=~n(),media=mean, DP=sd)) %>% 
  pander()

sex	n	media	DP
M	543	24.92	21.47
F	498	24.44	20.48

Em seguida, a realização de um gráfico é bastante informativa para apresentação dos resultados. Apesar desse recurso não ser decisivo na tomada de decisão, ele auxilia a visualização da distribuição da variável que temos interesse, bem como oferece um entendimento inicial dos resultados.

Uma vez que a VI é tratada como discreta e a VD é continua, tanto o gráfico de colunas/barras como o histograma/densidade são úteis. O gráfico de barras tem uma vantagem de ser possível adicionar barras de erros, que já apresentam uma primeira evidência inferencial. Por sua vez, histogramas e gráficos de densidade descrevem bem o formato da distribuição de dados.

gridExtra::grid.arrange(
  #plot 1 
  ggplot(asq_12months, aes(x = sex, y = total_12, fill = sex)) +
    geom_bar(stat = "summary", fun = mean) +
    stat_summary(fun.data = mean_se, geom = "errorbar", 
                 width = .2),
  #plot 2
    ggplot(asq_12months, aes(x = total_12, fill = sex)) + 
    geom_density(color = NA, alpha=.6)
)

Os achados preliminares indicam que os resultados de meninos e meninas são ligeiramente diferentes. No entanto, é necessário a execução da testagem formal desta hipótese.

A função t.test é nativa do R o vetor t_test_12_m será criado.

t_test_12m <- t.test(total_12 ~ sex, var.equal = T, 
                     data = asq_12months)

A tabela a seguir apresenta os resultados.

t_test_12m %>% pander::pander(., split.table = Inf)

Two Sample t-test: `total_12` by `sex`
Test statistic	df	P value	Alternative hypothesis	mean in group M	mean in group F
0.3679	1039	0.713	two.sided	24.92	24.44

Os achados trazem a média de ambos os grupos (24.92 e 24.44), a estatística do teste (0.37), chamada de T calculado, os graus de liberdade (1039) e o valor de p (0.71).

Repare que como o valor de p é superior ao valor estipulado do nível de significância (0.05), falha-se em rejeitar a hipótese nula. Nesse sentido, apesar dos resultados serem numericamente distintos, eles não são estatisticamente significativos (na população).

Atenção: A validade das inferências dos resultados depende da adequação ou não dos pressupostos dos testes estatísticos. A avaliação destas condições é parte de um procedimento diagnóstico que deve ser sempre feito.

Um aspecto importante é que a validade da interpretação dos resultados depende dos pressupostos do modelo estatístico. A violação destes pressupostos distorce, limita ou invalida as interpretações teóricas propostas, uma vez que tanto o aumento do erro do tipo 1 (falso positivo), como do tipo 2 (falso negativo) podem ocorrer (Barker & Shaw, 2015; Ernst & Albers, 2017; Lix et al., 1996). Corriqueiramente, testar os pressupostos é uma etapa anterior à própria realização do teste inferencial. Entretanto, pedagogicamente a apresentação deles após a execução do teste parece mais adequada. Assim, eles serão testados a seguir.

Normalidade: O Teste T é um caso especial de um modelo de regressão, o que será detalhado em outro capítulo. Dessa maneira, a normalidade que deve ser testada é a dos resíduos deste modelo. Isso pode ser aproximado testando a distribuição condicional dos resultados, ou seja, testando cada grupo independentemente. Tenha atenção que não é necessário testar a variável dependente como um todo. Caso os resultados sejam significativos, os dados serão aproximadamente bimodais e, consequentemente, não serão normalmente distribuídos.

A normalidade pode ser avaliada graficamente por QQ plots e por testes específicos, como o Shapiro-wilk, Anderson-Darling e Jarque Bera.

O QQ plot é um gráfico que reúne a distribuição empírica ordenada dos quantis contra os quantis da distribuição teórica (aqui, normal). Se os dados e a linha diagonal se sobrepuserem, isso é uma evidencia de que a distribuição empírica é a mesma da distribuição teórica. Caso haja discrepância, isso aponta para desvio da normalidade.

ggplot(asq_12months, aes(sample = total_12)) + 
  stat_qq() + 
  stat_qq_line() +
  facet_wrap(~sex)

Apesar do gráfico já ter sido bastante claro e sugerir fortemente desvio da normalidade em ambos os grupos, o teste formal é importante. O Shapiro-wilk costuma ser utilizado neste caso, uma vez que ele reúne diferentes características positivas no balanço entre erro do tipo 1 e 2 (Yap & Sim, 2011). A hipótese nula desse teste assume que a variável de interesse tem distribuição (aproximadamente) normal. Assim, rejeitar a hipótese nula sugere que esse princípio foi violado e, com isso, o Teste T pode gerar resultados distorcidos.

asq_12months %>% 
  group_by(sex) %>% 
  summarise(shapiro = shapiro.test(total_12)$p.value) %>% 
  pander::pander()

sex	shapiro
M	1.976e-19
F	4.798e-17

De maneira convergente ao gráfico, o Shapiro-wilk também apontou que o princípio da normalidade foi violado.

Homocedasticidade: A homogeneidade ou igualdade das variâncias pode ser testada visualmente, pelo teste Breusch-pagan, Levene ou Bartlett. De maneira análoga ao Shapiro-wilk, estes últimos assumem como hipótese nula a homogeneidade das variâncias. Consequentemente, a rejeição desse pressuposto pode também trazer resultados distorcidos ao resultado do Teste T. Diferentemente do pressuposto da normalidade, o pressuposto da homocedasticidade foi preservado, tal como apresentado abaixo:

car::leveneTest(total_12 ~ sex, data = asq_12months) %>% 
  pander::pander()

Levene’s Test for Homogeneity of Variance (center = median)
	Df	F value	Pr(>F)
group	1	0.02315	0.8791
	1039	NA	NA

Após testar estes pressupostos, é importante avaliar o quanto a interpretação originalmente deve ser mantida. Existem diferentes recomendações sobre o que fazer quando os pressupostos são violados. Entre elas, assumir essa condição e justificar a utilização do Teste T, transformar a distribuição da variável de interesse, usar versões robustas do Teste T, usar testes não-paramétricos com objetivos próximos ao Teste T ou eleger algum modelo estatístico mais adequado à distribuição empírica obtida pelos dados.

Parte dessas recomendações será demonstrada a seguir.

Com este teste inicial concluído, é também possível verificar se existem diferenças em idades mais avançadas, tal como 18 meses. A sintaxe é customizável e torna-se fácil testar a hipótese da diferença apenas modificando a hipótese e a sintaxe. A tabela a seguir apresenta as principais medidas estatísticas:

asq_18months %>%
  group_by(sex) %>% 
  summarise_at(vars(total_18), lst(n=~n(),media=mean, DP=sd)) %>% 
  pander()

sex	n	media	DP
M	2980	27.53	21.81
F	2747	24.95	20.34

Por sua vez, o gráfico a seguir traz o padrão dos resultados aos 18 meses.

gridExtra::grid.arrange(
  ggplot(asq_18months, aes(x = sex, y = total_18, fill = sex)) +
  geom_bar(stat = "summary", fun=mean) +
  stat_summary(fun.data = mean_se, geom = "errorbar", width = .2),

  ggplot(asq_18months, aes(x = total_18, fill = sex)) + 
  geom_density(color = NA, alpha=.6))

Tal como feito anteriormente, a realização do Teste T e a verificação de seus pressupostos devem ser realizadas.

Em relação aos resultados do Teste T, eles indicaram que ambos os grupos tem resultados médios significativamente diferentes. Meninos apresentam resultados mais elevados (M = 27.53, DP = 21.81) do que meninas (M = 24.95, DP = 21.81).

t_test_18m <- t.test(total_18 ~ sex, var.equal = T,
                     data = asq_18months)
t_test_18m %>% pander::pander(., split.table = Inf)

Two Sample t-test: `total_18` by `sex`
Test statistic	df	P value	Alternative hypothesis	mean in group M	mean in group F
4.619	5725	3.949e-06 * * *	two.sided	27.53	24.95

Diferentemente do anterior, agora o resultado foi significativo (p < 0.01), trazendo evidências que permitem concluir pela rejeição da hipótese nula. Da mesma forma que feito anteriormente, a verificação dos pressupostos é um elemento fundamental para validade da interpretação dos resultados. Uma vez que tais testes foram demonstrados na seção anterior, eles não serão reproduzidos agora. No entanto, dessa vez, a normalidade e a homocedasticidade foram violadas, fazendo que com as interpretações tornem-se frágeis, apesar de possíveis.

Isso posto, é importante ter uma atenção especial ao conceito subjacente à significância estatística. Um resultado que rejeita a hipótese nula, de forma alguma, deve ser entendido como “aceitação da hipótese alternativa” ou como evidência de causalidade, especialmente em delineamentos transversais.

Atenção: Nunca se aceita a hipótese nula ou a hipótese alternativa. Como Fisher (1931, p. 16) comenta, a hipótese nula nunca é provada ou estabelecida, mas é possivelmente refutada. Da mesma forma, rejeitar a hipótese nula não se refere a aceitar a alternativa, mas tão somente que os dados são incompatíveis à hipótese nula.

É fundamental lembrar que o valor de P se refere à probabilidade de encontrar a estatística de teste calculada, ou uma ainda mais extrema, assumindo que a hipótese nula é verdadeira (Wasserstein & Lazar, 2016). Apesar de algo contraintuitivo, é assim que a estatística frequentista funciona.

11.3 Tamanho do efeito

Resultados significativos não são informativos em relação ao tamanho do efeito. Esta última métrica tem mais contato com as perguntas originalmente realizadas em uma pesquisa e é entendida como uma medida objetiva e padronizada da magnitude de um efeito observado independente da significância estatística. Dessa maneira, o tamanho do efeito pode ser considerado um indicador da relevância clínica dos grupos, cujo uso é sempre importante em pesquisas em Psicologia e áreas da saúde.

Existem duas famílias principais no ambiente do tamanho do efeito, que são a família “d” e a família “r.” Quando comparamos médias, usamos o d de Cohen para calcular a distância entre as médias das distribuições sobrepostas.

A interpretação é a seguinte:

Cohen’s d	Interpretação
d < 0.2	Irrelevante
d \(\geq\) 0.2	Pequeno
d \(\geq\) 0.5	Moderado
d \(\geq\) 0.8	Grande

Para executar este teste no R, é possível contar com o pacote effsize, tal como demonstrado abaixo:

effsize::cohen.d(total_18 ~ sex, data = asq_18months)

## 
## Cohen's d
## 
## d estimate: 0.12216 (negligible)
## 95 percent confidence interval:
##      lower      upper 
## 0.07025972 0.17406037

Com esse conjunto de dados, o tamanho do efeito foi irrelevante, indicando que a diferença dos resultados não apresenta uma relevância clínica importante.

11.4 Execução no JASP

Nesta parte, apenas a base de crianças com 18 meses será utilizada. Ela está disponível com o nome de ds_18.csv. Da mesma maneira que foi feito no R, a apresentação de tabelas e gráficos auxiliam o pesquisador a verificar padrões nos dados. Para fazer tais procedimentos, é necessário ir até a seção Descriptives, como ilustrado a seguir.

Ao clicar nesta opção, será possível eleger as variáveis que irão ser analisadas e as variáveis que irão funcionar como agrupadoras. Na prática, a lista Variables irá reunir as variáveis dependentes, enquanto a variável independente será colocada na seção Split. É importante atentar à opção Frequency tables (nominal and ordinal), que deve ser marcada quando o nível de medida da variável de interesse for nominal ou ordinal.

Isto posto, será necessário arrastar as variáveis de interesse aos seus respectivos locais. Neste caso, o total_18 para parte das VDs, enquanto sex para a VI. Ao fazer isso, o JASP automaticamente irá preencher a tabela previamente exposta com os valores estatísticos obtidos. A média e o desvio-padrão indicam a posição típica dos dados e o afastamento esperado desta localização.

Em seguida, ao clicar na opção Plots, será possível selecionar o Boxplot. O gráfico aparecerá abaixo da tabela e irá apresentar diferentes informações estatísticas da distribuição dos resultados das crianças de 18 meses em função do sexo delas.

Para execução do Teste T, deve-se clicar em T-Test e, em seguida, Independent samples T-test.

Ao realizar tais ações, a tela a ser exibida será próxima à imagem a seguir:

Repare que a Grouping variable é o local onde a VI deverá ser colocada, enquanto a Variables é o local onde a VD irá ser inserida. É possível ter apenas uma VI, enquanto diferentes VDs podem ser inseridas na seção Variables para serem analisadas independentemente .

Neste caso de agora, a VI é sex e a VD é total_18. Ao inseri-las em seus locais específicos, o JASP automaticamente irá fazer o Teste T e apresentar os resultados. Pragmaticamente, o valor de P costuma ser utilizado para decisões estatísticas e ele está destacado pelo quadrado roxo na imagem a seguir.

Entretanto, da mesma forma como apresentado no ambiente R, a interpretação deste resultado não pode ser feita de uma forma automática. É necessário saber se os pressupostos foram ou não atendidos, além de calcular o tamanho do efeito. Para verificar os pressupostos, será necessário utilizar as opções dispostas na parte inferior à esquerda do programa. Na imagem abaixo, elas foram destacadas pelo retângulo roxo.

É necessário marcar as duas opções para que os testes sejam realizados. Os resultados são os mesmos já obtidos pelo R e indicam que ambos os pressupostos foram violados, sugerindo uma interpretação bastante cautelosa dos achados.

Para inserir o tamanho do efeito ao lado do Teste T, é necessário clicar em Effect size e Cohen's d, ambos localizados na parte superior do JASP.

Com estas informações marcadas, agora os resultados podem ser analisados em conjunto. O valor de P irá indicar se a hipótese nula foi rejeitada ou não. O tamanho do efeito indicará a relevância ou importância prática dos resultados.

Os resultados obtidos pelo JASP são idênticos aos do R. Eventualmente, a diferença em relação ao sinal (+ ou -) é devida a codificação feita pelos programas e nada interfere na interpretação dos resultados.

11.5 Escrita dos resultados

O primeiro achado foi que meninos e meninas não apresentaram diferenças em seus resultados médios quando tinham 12 meses. Abaixo uma sugestão de escrita baseada nas recomendações da American Psychological Association (APA).

Como escrever os resultados

Os dados dos participantes foram analisados por um Teste T de amostras independentes para investigar as diferenças médias nos resultados do desenvolvimento entre meninos e meninas com 12 meses de idade. Os resultados mostraram que os valores médios de meninos e meninas não são significativamente diferentes (t(1039) = 0.37, p = 0.71). Dessa maneira, as diferenças encontradas podem ser mais bem explicadas por outras fontes de variações.

Em seguida, verificamos que essa diferença é significativa aos 18 meses e abaixo uma outra sugestão de escrita.

Como escrever os resultados

Os dados dos participantes foram analisados por um Teste T de amostras independentes para investigar as diferenças médias nos resultados do desenvolvimento entre meninos e meninas com 18 meses de idade. Os resultados mostraram que os valores médios de meninos (M = 27.5, DP = 21.8) e meninas (M = 24.9, DP = 20.3) são significativamente diferentes (t(5725) = 4.62, p < 0.01), apesar do tamanho do efeito ser irrelevante (d = 0.12).

11.6 Versão robusta do Teste T

Atenção: Um aspecto importante e que não costuma ser discutido com tanta frequência é que a modificação do teste estatístico utilizado pode modificar a hipótese da pesquisa. A decisão de alterar ou não o teste inferencial deve ser feita com justificativa teórica por parte do pesquisador.

Em muitas situações, os pressupostos do Teste T são violados. Parte da literatura argumenta que o Teste T é robusto o suficiente para lidar com isso (Lumley et al., 2002), enquanto outra parte sugere que é melhor optar por versões com médias aparadas, técnicas não-paramétricas (Field & Wilcox, 2017) ou outros modelos estatísticos.

Quando a homocedasticidade é violada, o Welch test pode ser utilizado. Este teste é considerado uma versão robusta do Teste T, já que lida bem com variâncias distintas nos grupos.

O tamanho do efeito do Welch test é também o d de Cohen e, por isso, não será novamente calculado nesta seção.

11.6.1 Execução no R

Para executar o O Welch-test no R, deve-se alterar a sintaxe, estipulando var.equal = F na sintaxe previamente exposta. Na verdade, o R executa o Welch test de maneira automática quando faz o Teste T. Dessa maneira, ao se remover este argumento por completo, o Teste T robusto será calculado. Existem outras soluções disponíveis no pacote WRS, que não serão implementadas neste livro.

O Welch-test será calculado considerando as crianças com 18 meses.

t.test(total_18 ~ sex,data = asq_18months) %>% pander::pander(., split.table = Inf)

Welch Two Sample t-test: `total_18` by `sex`
Test statistic	df	P value	Alternative hypothesis	mean in group M	mean in group F
4.632	5724	3.707e-06 * * *	two.sided	27.53	24.95

Repare que a estatística de teste e os graus de liberdade são diferentes. No entanto, os resultados são virtualmente os mesmos obtidos anteriormente, indicando que os grupos apresentam valores significativamente distintos. A escrita dos resultados é a mesma da apresentada.

11.6.2 Execução no JASP

No JASP, é possível acessar a versão robusta clicando em Welch, embaixo do Student, que já é previamente marcado.

A interpretação e escrita dos achados é a mesma realizada anteriormente.

11.7 Mann-whitney

O teste de Wilcoxon-Mann-Whitney costuma ser chamado de versão não-paramétrica do Teste T. No entanto, isso não é totalmente verdadeiro. O Teste T e o Mann-Whitney testam hipóteses diferentes. Enquanto o Teste T compara médias, o Mann-whitney compara os valores ranqueados (postos). Nota-se que ele não é um teste para comparar medianas e que isso só ocorre em condições restritas.

Com muita frequência, o Mann-Whitney costuma ser eleito como um forte candidato para substituir o teste T quando seus pressupostos são violados. No entanto, conforme comentando, este teste responde a uma hipótese apenas próxima daquela que o Teste T trabalha.

11.7.1 Execução No R

Para executar o Mann-Whitney, é possível utilizar a função wilcox.test. As conclusões estatística são virtualmente identicas às obtidas previamente, em que foi possível rejeitar a hipótese nula.

mann_whiyney_18m <- wilcox.test(total_18 ~ sex, data = asq_18months)
mann_whiyney_18m %>% pander::pander()

Wilcoxon rank sum test with continuity correction: `total_18` by `sex`
Test statistic	P value	Alternative hypothesis
4368187	9.902e-06 * * *	two.sided

11.7.2 Tamanho do efeito

O tamanho do efeito também pode ser calculado por \(Z/\sqrt{(n)}\). O output padrão do R não oferece a informação de Z, mas o pacote coin dispõe dessa métrica.

coin::statistic(coin::wilcox_test(total_18 ~ sex, 
                                  data = asq_18months))

## [1] 4.41932

Plugando este valor na fórmula, o tamanho do efeito é aproximadamente 0.06.

11.7.3 Execução no JASP

No JASP, é necessário marcar a opção Mann-Whitney no lugar da opção Student, que é a definida por padrão. O JASP utiliza a correlação rank-bisserial como método padrão para relatar o tamanho do efeito para o teste de Mann-Whitney.

11.7.4 Escrita dos resultados

A literatura não é muito concordante em como escrever os resultados do Mann-Whitney e abaixo há uma sugestão.

Como escrever os resultados

Os dados foram analisados pelo teste Wilcoxon-Mann-Whitney para investigar as diferenças nos resultados do desenvolvimento entre meninos (Mdn = 25, IQR = 30, M = 27.53, DP = 21.61) e meninas (Mdn = 20, IQR = 25, M = 24.95, DP = 20.34) com 18 meses de idade. Os resultados indicaram que os resultados foram significativos (W = 4368187, p < 0.01), mas com efeito negligenciável (0.12).

11.8 Teste T e regressão

Conforme alertado ao início do capítulo, o Teste T é um caso particular de um modelo de regressão, em que há uma única variável independente com dois níveis e uma variável dependente contínua. No capítulo sobre modelos de regressão, alguns conceitos tendem a ficar mais claros.

Neste modelo, \(b_0\) (intercepto) é o grupo referência que recebeu o valor 0. Já \(b_1\) (inclinação) é a diferença entre os valores do grupo definido para o intercepto e o outro grupo, que recebeu o valor de 1 e é chamado de comparação. Caso isso não tenha sido explicitamente definido, ao se usar o R, será necessário codificar a variável como fator.

O exemplo abaixo ilustra os resultados utilizando a base asq_18months.

lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months) %>%
  olsrr::ols_regress()

##                          Model Summary                          
## ---------------------------------------------------------------
## R                       0.061       RMSE                21.117 
## R-Squared               0.004       Coef. Var           80.324 
## Adj. R-Squared          0.004       MSE                445.920 
## Pred R-Squared          0.003       MAE                 16.152 
## ---------------------------------------------------------------
##  RMSE: Root Mean Square Error 
##  MSE: Mean Square Error 
##  MAE: Mean Absolute Error 
## 
##                                   ANOVA                                   
## -------------------------------------------------------------------------
##                    Sum of                                                
##                   Squares          DF    Mean Square      F         Sig. 
## -------------------------------------------------------------------------
## Regression       9511.801           1       9511.801    21.331    0.0000 
## Residual      2552890.199        5725        445.920                     
## Total         2562401.999        5726                                    
## -------------------------------------------------------------------------
## 
##                                   Parameter Estimates                                    
## ----------------------------------------------------------------------------------------
##       model      Beta    Std. Error    Std. Beta      t        Sig      lower     upper 
## ----------------------------------------------------------------------------------------
## (Intercept)    27.527         0.387                 71.160    0.000    26.769    28.285 
##        sexF    -2.580         0.559       -0.061    -4.619    0.000    -3.675    -1.485 
## ----------------------------------------------------------------------------------------

Em função da ordem alfabética, o R atribuiu os meninos (male) como intercepto e, consequentemente, como grupo referência. Assim, o valor de \(b_0\) é o valor médio obtido pelos dos meninos (27.53). A inclinação \(b_1\) é a diferença entre os valores dos meninos e das meninas (24.95-27.53). Nesse caso, o valor é -2.58. A estatística F é equivalente a \(t^2\) do Teste T em sua versão tradicional, que assume variâncias iguais entre grupos.

Assim, torna-se mais intuitivo mostrar que a normalidade no Teste T se refere à normalidade dos resíduos deste modelo de regressão. Isso pode ser visualmente pela análise de um QQ plot, tal como a seguir.

olsrr::ols_plot_resid_qq(lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months))

Ou por testes estatísticos formais, como o Shapiro-wilk, Anderson-Darling e Jarque Bera. Em todos eles, a hipótese nula é de que os resíduos são normalmente distribuídos e idealmente não se deve rejeitá-la. Uma vez que o Shapiro-wilk não lida bem mais de 500 valores residuais, abaixo segue a execução do Anderson-Darling.

nortest::ad.test(lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months)$residuals)

## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months)$residuals
## A = 116.57, p-value < 2.2e-16

Os resultados foram convergentes ao alcançados durante o capítulo, indicando pela violação da normalidade.

A homocedasticidade pode ser investigada também por um gráfico dos resíduos contra os valores ajustados, tal como abaixo.

olsrr::ols_plot_resid_fit(lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months))

O teste de Levene, de Bartlett ou de Breusch-Pagan também oferecem recursos para tal análise.

olsrr::ols_test_breusch_pagan(lm(total_18 ~ sex, data = asq_18months))

## 
##  Breusch Pagan Test for Heteroskedasticity
##  -----------------------------------------
##  Ho: the variance is constant            
##  Ha: the variance is not constant        
## 
##                 Data                 
##  ------------------------------------
##  Response : total_18 
##  Variables: fitted values of total_18 
## 
##          Test Summary           
##  -------------------------------
##  DF            =    1 
##  Chi2          =    13.89602 
##  Prob > Chi2   =    0.0001932067

Os achados também concluem pela rejeição da homocedasticidade, tal como foi previamente apresentado. Mais detalhes sobre modelos de regressão são apresentados em capítulos específicos.

11.9 Resumo

O Teste T é um teste paramétrico que visa comparar até duas médias
Gráfico de barras ou boxplots são extremamente úteis para verificar os resultados
O Teste T é um caso particular de um modelo de regressão
Os pressupostos do Teste T devem ser checados para verificar a validade da interpretação dos resultados
Quando os pressupostos são violados, o pesquisador deverá tomar decisões sobre a manutenção, modificação ou substituição deste teste por outro
A mudança da modelagem estatística, necessariamente, modifica a hipótese testada e isso deve ser levado em consideração
O tamanho do efeito é uma métrica importante e realizada pelo d de Cohen

11.10 Pesquisas adicionais

Are Women Really More Talkative Than Men? (DOI: 10.1126/science.1139940)
Nesta pesquisa, 96 participantes (210 mulheres and 186 homens) foram investigados entre 1998 e 2004. Os pesquisadores deram para todos um tipo de gravador de voz que eles deveriam utilizar diariamente. Ao fim, a média de palavras produzidas por homens e mulheres foram comparadas.
O diferencial de desempenho escolar entre escolas públicas e privadas no Brasil (DOI: 10.1590/0103-6351/1564) Este trabalho apresenta uma análise dos resultados de provas de matemática e língua portuguesa do Sistema de Avaliação da Educação Básica. As provas são feitas por alunos do ensino fundamental de escolas públicas ou privadas. Diferentes análises foram feitas, indicando que, em média, alunos de escolas privadas tem resultados superiores.
Gender Differences in Multiple-Choice Tests: The Role of Differential Guessing Tendencies (DOI: 10.1111/j.1745-3984.1991.tb00341.x)
Nesta pesquisa, objetivou-se verificar a diferença no perfil cognitivo e padrão de respostas ao acaso de homens e mulheres. Para isso, 302 mulheres e 302 homens foram selecionados aleatoriamente de uma universidade em Jerusalem e, em seguida, fizeram um conjunto de testes cognitivos.

11.11 Questões

(Retirado de Residência Médica, UNIFESP, CONSESP, 2015)De 20 mulheres com tensão pré-menstrual que receberam extrato de soja, seis melhoraram em seis meses. De outras 20 mulheres com tensão pré-menstrual que receberam placebo, duas melhoraram em seis meses. Os dois parâmetros resultantes foram, então, comparados.
a) Teste t para duas médias provenientes de amostras independentes.
b) Teste exato de Fisher para duas proporções provenientes de amostras independentes.
c) Teste t para duas médias provenientes de amostras relacionadas (teste t pareado).
d) Teste de McNemar para duas proporções provenientes de amostras independentes
e) Teste exato de Fisher para duas proporções provenientes de amostras relacionadas.
(Retirado de Oficial Técnico de Inteligência Área de Criptoanálise Estatística, ABIN, CESPE, 2010) O teste de Wilcoxon é o equivalente não paramétrico do teste t-Student para comparação de duas médias, e o teste de Kruskal-Wallis é o equivalente não paramétrico da análise de variâncias para um fator.
a) Certo.
b) Errado.
(Retirado de Laboratório de Estatística e Geoinformação-UFPR) Suponha que você tenha sido contratado para conduzir um estudo cujo objetivo seja descobrir qual dentre duas marcas de refrigerantes as pessoas acham que tem o melhor sabor. Em seu estudo, os participantes são submetidos a uma degustação às cegas. Eles pontuam uma marca e então pontuam a outra, em ordem aleatória. As notas são atribuídas numa escala de 1 (horrível) a 5 (delicioso). Qual tipo de teste seria o melhor para comparar estas notas? Justifique sua escolha.
a) Teste t para dois grupos pareados.
b) Teste t para dois grupos independentes
c) Teste qui-quadrado.
d) Teste de Mann-Whitney.
e) Teste de Wilcoxon.

Gabarito: 1-b; 2-a; 3-e

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Referencias

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Ernst, A. F., & Albers, C. J. (2017). Regression assumptions in clinical psychology research practicea systematic review of common misconceptions. PeerJ, 5, e3323. https://doi.org/10.7717/peerj.3323

Field, A. P., & Wilcox, R. R. (2017). Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers. Behaviour Research and Therapy, 98, 19–38. https://doi.org/10.1016/j.brat.2017.05.013

Krus, D. J., & Krus, P. H. (1977). Lost: McCalls t scores: why? Educational and Psychological Measurement, 37(1), 257–261. https://doi.org/10.1177/001316447703700134

Lix, L. M., Keselman, J. C., & Keselman, H. J. (1996). Consequences of assumption violations revisited: A quantitative review of alternatives to the one-way analysis of variance "f" test. Review of Educational Research, 66(4), 579. https://doi.org/10.2307/1170654

Lumley, T., Diehr, P., Emerson, S., & Chen, L. (2002). The importance of the normality assumption in large public health data sets. Annual Review of Public Health, 23(1), 151–169. https://doi.org/10.1146/annurev.publhealth.23.100901.140546

Wasserstein, R. L., & Lazar, N. A. (2016). The ASA statement on p-values: Context, process, and purpose. The American Statistician, 70(2), 129–133. https://doi.org/10.1080/00031305.2016.1154108

Yap, B. W., & Sim, C. H. (2011). Comparisons of various types of normality tests. Journal of Statistical Computation and Simulation, 81(12), 2141–2155. https://doi.org/10.1080/00949655.2010.520163